Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» для 4-8 класса - сложность 2-5 с решениями
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
а) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный<i>n</i>-угольник. б) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный<i>n</i>-угольник.
Треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>и<i>ABC</i><sub>2</sub>имеют общее основание<i>AB</i>и $\angle$<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>=$\angle$<i>AC</i><sub>2</sub><i>B</i>. Докажите, что если|<i>AC</i><sub>1</sub>-<i>C</i><sub>1</sub><i>B</i>| < |<i>AC</i><sub>2</sub>-<i>C</i><sub>2</sub><i>B</i>|, то: а) площадь треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше площади треугольника<i>ABC</i><sub>2</sub>; б) периметр треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше периметра треугольника<i...
а) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный<i>n</i>-угольник. б) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, описанных около данной окружности, наименьший периметр имеет правильный<i>n</i>-угольник.
Дан угол<i>XAY</i>и точка <i>O</i>внутри его. Проведите через точку <i>O</i>прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите внутри его точку <i>O</i>, для которой сумма длин отрезков<i>OA</i>,<i>OB</i>,<i>OC</i>минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше120<sup><tt>o</tt></sup>.)
Из точки <i>M</i>, лежащей внутри данного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MA</i><sub>1</sub>, <i>MB</i><sub>1</sub>, <i>MC</i><sub>1</sub> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Для каких точек <i>M</i> внутри данного треугольника <i>ABC</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/57540/problem_57540_img_2.gif"> принимает наименьшее значение?
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. Пусть <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i> – расстояния от нее до прямых <i>BC, CA, AB</i>.
При каком положении точки <i>O</i> произведение <i>d<sub>a</sub>d<sub>b</sub>d<sub>c</sub></i> будет наибольшим?
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>X, M</i> и <i>N</i> – её проекции на катеты <i>AC</i> и <i>BC</i>.
а) При каком положении точки <i>X</i> длина отрезка <i>MN</i> будет наименьшей?
б) При каком положении точки <i>X</i> площадь четырёхугольника <i>CMXN</i> будет наибольшей?
Докажите, что треугольники с длинами сторон <i>a, b, c</i> и <i>a</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>1</sub> подобны тогда и только тогда, когда <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57530/problem_57530_img_2.gif">
Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?
Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной <i>a</i> и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон <i>b</i> и <i>c</i>?
Докажите, что среди всех треугольников<i>ABC</i>с фиксированным углом $\alpha$и полупериметром <i>p</i>наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.
Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $\alpha$и площадью <i>S</i>наименьшую длину стороны<i>BC</i>имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.