Пусть O — центр окружности радиуса R;A,Bи C — вершины треугольника;a=$\overrightarrow{OA}$,b=$\overrightarrow{OB}$,c=$\overrightarrow{OC}$. ТогдаAB²+BC²+CA²= |a-b|²+ |b-c|²+ |c-a|²= 2(|a|²+ |b|²+ |c|²) - 2(a,b) - 2(b,c) - 2(c,a). Так как|a+b+c|²= |a|²+ |b|²+ |c|²+ 2(a,b) + 2(b,c) + 2(c,a), тоAB²+BC²+CA²= 3(|a|²+ |b|²+ |c|²) - |a+b+c|²$\le$3(|a|²+ |b|²+ |c|²) = 9R², причем равенство достигается, только еслиa+b+c= 0. Это равенство означает, что треугольникABCправильный.

Ответ задачи отсутствует