Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Отношение сторон подобных треугольников» - сложность 2 с решениями
параграф 2. Отношение сторон подобных треугольников
НазадДокажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> и <i>b</i><sub>1</sub> = <i>b</i><sub>2</sub> (см. рис.), то <i>x = y</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56486/problem_56486_img_2.gif"></div>
Точка <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что <i>BK·AB = BO</i>² и
<i>AM·AB = AO</i>². Докажите, что точки <i>M, O</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.
На биссектрисе угла с вершиной <i>C</i> взята точка <i>P</i>. Прямая, проходящая через точку <i>P</i>, высекает на сторонах угла отрезки длиной <i>a</i> и <i>b</i>.
Докажите, что величина <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> не зависит от выбора этой прямой.
Через произвольную точку <i>P</i> стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> параллельно его медианам <i>AK</i> и <i>CL</i> проведены прямые, пересекающие стороны <i>BC</i> и <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Докажите, что медианы <i>AK</i> и <i>CL</i> делят отрезок <i>EF</i> на три равные части.
Углы треугольника <i>ABC</i> связаны соотношением 3α + 2β = 180°. Докажите, что <i>a</i>² + <i>bc = c</i>².
Пусть <i>AC</i> – большая из диагоналей параллелограмма <i>ABCD</i>. Из точки <i>C</i> на продолжения сторон <i>AB</i> и <i>AD</i> опущены перпендикуляры <i>CE</i> и <i>CF</i> соответственно. Докажите, что <i>AB·AE + AD·AF = AC</i>².
Прямая <i>l</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AD</i> и диагональ <i>AC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>E, F</i> и <i>G</i> соответственно. Докажите, что <sup><i>AB</i></sup>/<i><sub>AE</sub> + <sup>AD</sup></i>/<i><sub>AF</sub> = <sup>AC</sup></i>/<sub><i>AG</i></sub>.
На стороны <i>BC</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на их продолжения) опущены перпендикуляры <i>AM</i> и <i>AN</i>.
Докажите, что треугольники <i>MAN</i> и <i>ABC</i> подобны.
В трапецию <i>ABCD</i> (<i>BC || AD</i>) вписана окружность, касающаяся боковых сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, а оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.
а) Пусть <i>Q</i> – точка пересечения отрезков <i>BM</i> и <i>AN</i>. Докажите, что <i>KQ || AD</i>.
б) Докажите, что <i>AK·KB = CL·LD</i>.
Отрезок <i>BE</i> разбивает треугольник <i>ABC</i> на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен <img align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/53869/problem_53869_img_2.png"> Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки <i>K</i> и <i>L</i>, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые <i>AK</i> и <i>AL</i> делят отрезок <i>BC</i> на равные части.