Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Отношение сторон подобных треугольников» - сложность 1 с решениями

Концы отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i> перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> перемещаются параллельно; <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что величина   <img width="59" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56481/problem_56481_img_2.gif">  остается постоянной.

На высотах <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ так, что   ∠<i>AB</i>₂<i>C</i> = ∠<i>AC</i>₂<i>B</i> = 90°.  Докажите, что  <i>AB</i>₂ = <i>AC</i>₂.

Прямая, проходящая через вершину <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>E</i> и прямую <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что  ¹/_<i>AE</i>² + ¹/_<i>AF</i>² = ¹/_<i>AB</i>².

Длины двух сторон треугольника равны <i>a</i>, а длина третьей стороны равна <i>b</i>. Вычислите радиус его описанной окружности.

а) В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BD</i> внутреннего или внешнего угла. Докажите, что  <i>AD</i> : <i>DC = AB</i> : <i>BC</i>. б) Докажите, что центр <i>O</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит биссектрису <i>AA</i>₁ в отношении  <i>AO</i> : <i>OA</i>₁ = (<i>b + c</i>) : <i>a</i>,  где <i>a, b, c</i>  – длины сторон треугольника.