Задача
а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Докажите, что AD : DC = AB : BC. б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + c) : a, где a, b, c – длины сторон треугольника.
Решение
а) Первый способ. Докажем утверждение для биссектрисы внутреннего угла. Проведём через точку C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AB в точке E. Так как ∠BEC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCE, то треугольник CBE – равнобедренный (BC = BE). По теореме Фалеса AD : DC = AB : BE = AB : BC. Для биссектрисы внешнего угла доказательство аналогично. Второй способ. Точка равноудалена D от прямых AB и BC. Поэтому AD : DC = SABD : SBCD = AB : BC. б) Из а) следует, что BA1 = ac/b+c. Так как BO – биссектриса треугольника ABA1, то AO : OA1 = AB : BA1 = (b + c) : a.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь