Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 9 класса
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
НазадНайдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.
На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).
Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
Найти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.
Найти остаток от деления на 7 числа 10<sup>10</sup> + 10<sup>10<sup>2</sup></sup> + 10<sup>10<sup>3</sup></sup> + ... + 10<sup>10<sup>10</sup></sup>.
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),<nobr>а) проигрывает;</nobr><nobr>б) выигрывает.</nobr>Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²) при <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].
Докажите, что при любом простом <i>p</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif"> делится на <i>p</i>.
Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо <i>n</i><sup>8</sup> + 1, либо <i>n</i><sup>8</sup> – 1 делится на 17.
Докажите, что если число <i>n</i>! + 1 делится на <i>n</i> + 1, то <i>n</i> + 1 – простое число.
Докажите тождества: а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif"> г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif"> д) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif"> – это количест...
Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) <i>k</i>-угольник (<i>k</i> > 3)?
а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных? б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?
В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое.
Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <i>n<sup>n</sup></i> > (<i>n</i> + 1)<sup><i>n</i>–1</sup>.
<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что (1 + <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> ≥ 1 + <i>nx</i>.
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30898/problem_30898_img_2.gif">
<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что <img width="318" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30897/problem_30897_img_2.gif">
<i>a, b, c</i> ≥ 0. Докажите, что 2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>a</i>²<i>b + ab</i>² + <i>a</i>²<i>c + ac</i>² + <i>b</i>²<i>c + bc</i>².
<i>x, y</i> > 0. Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30888/problem_30888_img_2.gif">