Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены» для 5-11 класса - сложность 2 с решениями

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Докажите, что из равенств

    <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_2.gif"><img width="165" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_3.gif">

следует, что <i>x = y = z</i> = 0.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_2.gif"><img width="200" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_3.gif">

На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

Постройте многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям:

  а)   <i>f</i>(0) = 1,   <i>f</i>(1) = 3,   <i>f</i>(2) = 3;

  б)   <i>f</i>(–1) = –1,   <i>f</i>(0) = 2,   <i>f</i>(1) = 5;

  в)   <i>f</i>(–1) = 1,   <i>f</i>(0) = 0,   <i>f</i>(2) = 4.

Какие остатки дает многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161052">161052</a> при делении на многочлены вида  <i>x</i> - <i>x</i>_i?

Пусть <i>A, B</i> и <i>C</i> – остатки от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – a,  x – b</i>  и  <i>x – c</i>.

Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>).

Опишите явный вид многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>x</i>) + <i>f</i>₂(<i>x</i>) + ... + <i>f_n</i>(<i>x</i>),  где  <i>f_i</i>(<i>x</i>) – многочлены из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161050">161050</a>.

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Постройте многочлены   <i>f</i>₁(<i>x</i>),  <i>f</i>₂(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>)  степени  <i>n</i> – 1,  которые удовлетворяют условиям   <i>f_i</i>(<i>x_i</i>) = 1  и   <i>f_i</i>(<i>x_j</i>) = 0  при  <i>i ≠ j</i>  (<i>i, j</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>).

Докажите тождество   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61049/problem_61049_img_2.gif">

Решите уравнение   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61048/problem_61048_img_2.gif">

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше

  а)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 8,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 9;

  б)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 11,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 12?

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника, <i>p</i> – его полупериметр, а <i>r</i> и <i>R</i> – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от <i>p, r, R</i>, корнями которого являются числа <i>a, b, c</i>. Докажите равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61045/problem_61045_img_2.gif"></div>

При каких <i>a</i> и <i>b</i> уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax + b</i> = 0  имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

Числа  <i>x, y, z</i>  удовлетворяют системе

      <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_2.gif"><img width="134" height="70" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_3.gif">

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно <i>a</i>.

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 0,  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² = 1.  Найдите  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>nx</i>^<i>n</i>+1 – (<i>n</i> + 1)<i>x ⁿ</i>  + 1  делится на  (<i>x</i> – 1)².

При каких <i>A</i> и <i>B</i> многочлен  <i>Ax</i>^<i>n</i>+1 + <i>Bxⁿ</i> + 1  имеет число  <i>x</i> = 1  не менее чем двукратным корнем?