Дана пирамида <i>SA</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, основание которой – выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>. Для каждого  <i>i</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  в плоскости основания построили треугольник <i>X_iA_iA</i>_<i>i</i>+1, равный треугольнику <i>SA_iA</i>_<i>i</i>+1 и лежащий по ту же сторону от прямой <i>A_iA</i><sub><i>i</i>+1</sub&gt...

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

Существует ли выпуклый <i>N</i>-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  <i>y = x</i>²,  если

  а)  <i>N</i> = 2011;

  б)  <i>N</i> = 2012?

Дракон заточил в темницу рыцаря и выдал ему 100 разных монет, половина из которых волшебные (какие именно – знает только дракон). Каждый день рыцарь раскладывает все монеты на две кучки (не обязательно равные). Если в кучках окажется поровну волшебных монет или поровну обычных, дракон отпустит рыцаря. Сможет ли рыцарь гарантированно освободиться не позже, чем

  а) на 50-й день?

  б) на 25-й день?

В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше 10 платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать 10 компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

На плоскости даны три параллельные прямые.

Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Существуют ли такие натуральные <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>⁴ – <i>y</i>⁴ = <i>x</i>³ + <i>y</i>³?

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду. Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для<b>каждого</b>из них.

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.

Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

Для вещественных  <i>x > y</i> > 0  и натуральных  <i>n > k</i>  докажите неравенство  (<i>x^k – y^k</i>)^<i>n</i> < (<i>xⁿ – yⁿ</i>)^<i>k</i>.

Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.

Найдите все такие пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>aⁿ + bⁿ</i>  является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.

Найдите все пары чисел<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_2.gif"> </i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_3.gif"></i>), удовлетворяющие равенству<i> sin x+ sin y= sin</i>(<i>xy</i>).

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = 0.

Докажите, что если <center><i> <img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_4.gif">=<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_5.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_6.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_7.gif">=

<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_8.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_9.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_10.gif">

<...

Назовем медианой системы 2<i> n </i>точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2<i> n </i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение <center><i>

|x-a₁|+..+|x-a</i>50<i>|=|x-b₁|+..+|x-b</i>50<i>|,

</i></center> где<i> a₁ </i>,<i> a₂ </i>,<i> a</i>50,<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>,<i> b</i>50– различные числа?

Даны натуральное число  <i>n</i> > 3  и положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, произведение которых равно 1.

Докажите неравенство  <img align="middle" src="/storage/problem-media/109811/problem_109811_img_2.gif">

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 10000  найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что

 0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .

Многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  имеет три различных действительных корня, а многочлен <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)), где  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>x</i> + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  <i>P</i>(2001) > ¹/₆₄.