Олимпиадная задача по тригонометрии для 10-11 класса: уравнение с синусами по Агханову, Голованову и Сендерову

Первое решение. Без ограничения общности можно считать α-β0, γ-τ0. Положим a= , b= , c= , d= , тогда условие задачи перепишется в виде

sin ax cos bx= sin cx cos dx,

где a>b0, c>d0.

Наименьший положительный корень x₀ левой части– число или , а правой– или . Если a=c , то cos bx= cos dx и, значит, b=d . Из этих равенств следует требуемое.

Пусть x₀= . Если = , то a=2d , и из равенства функций sin2dx cos bx= sin cx cos dx следует

2 sin dx cos bx= sin cx.

Приравнивая наименьшие положительные корни левой и правой частей, получаем c=d (что невозможно) либо c=2b . В последнем случае sin bx= sin dx , так что b=d . Тогда sin ax= sin cx , т.е. a=c . Так же a=c и b=d в случае = . Наконец, в случае = также получаем b=d и a=c .

Второе решение.

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x (1)

Продифференцируем данное равенство и положим x=0:

α cosα x+β cosβ x=γ cosγ x+τ cosτ x α+β=γ+τ.

Возьмем третью производную и подставим x=0:

-α3 cosα x-β3 cosβ x=-γ3 cosγ x-τ3 cosτ x α3+β3=γ3+τ3.

Мы получили систему

α+β=γ+τ,α3+β3=γ3+τ3 α2-αβ+β2=γ2-γτ+τ2, α2+2αβ+β2=γ2+2γτ+τ2

αβ=γτ, α+β=γ+τ пары(α,β)и(γ,τ)совпадают, что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует