Олимпиадная задача Чеканова: отношение площадей белых и чёрных клеток квадратной доски
Задача
Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.
Решение
Пусть левая верхняя клетка белая. Все нечётные столбцы сдвинем влево, а потом все нечётные строчки вверх. Теперь все белые клетки собрались в двух прямоугольниках в левом верхнем и правом нижнем углах, причём отношение площади каждого белого прямоугольника к площади каждого чёрного не больше 2. Пусть ширина левого белого прямоугольника больше ½. Тогда увеличивая его высоту, мы увеличиваем суммарную белую площадь. Значит, максимальное отношение белой площади к чёрной достигается, когда левый верхний прямоугольник – квадрат со стороной ⅔ и равно (4/9+1/9) : (2·2/9) =5/4.
Ответ
5/4.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь