Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 8 класса - сложность 3-4 с решениями
Геометрические методы
НазадДан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.
В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S<sub>PAQ</sub> < S<sub>BMC</sub></i>?
На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.
Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.
В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все50<i>· </i>70вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.
Найдите расстояние от точки<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)до плоскости<i> Ax+By+Cz+D=</i>0.
На рёбрах<i> AA</i>1,<i> AB </i>,<i> B</i>1<i>C</i>1и<i> BC </i>единичного куба<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1взяты точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно, причём<i> AL=<img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_2.gif"> </i>,<i> B</i>1<i>M = <img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_3.gif"> </i>,<i> CN = <img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_4.gif"> </i>. Определите, какое из рёбер<i> AB </i>или<i> AD </i>пересекает плоскость, парал...
На рёбрах<i> A</i>1<i>B</i>1,<i> AB </i>,<i> A</i>1<i>D</i>1и<i> DD</i>1единичного куба<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1взяты точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно, причём<i> A</i>1<i>K = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_2.gif"> </i>,<i> AL = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_3.gif"> </i>,<i> A</i>1<i>M = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_4.gif"> </i>. Определите, какое из рёбер<i> A</i>1<i>D&l...
Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости<i> Oxy </i>и<i> Oyz </i>равны соответственно<i> <img src="/storage/problem-media/108863/problem_108863_img_2.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108863/problem_108863_img_3.gif"> </i>, а площадь проекции на плоскость<i> Oxz </i>– целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.
Основанием пирамиды<i> HPQR </i>является равнобедренный прямоугольный треугольник<i> PQR </i>, гипотенуза<i> PQ </i>которого равна2<i><img src="/storage/problem-media/108862/problem_108862_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро пирамиды<i> HR </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> H </i>и середину ребра<i> PR </i>, а другая проходит через точку<i> R </i>и середину ребра<i> PQ </i>.
Основанием пирамиды<i> HPQR </i>является равносторонний треугольник<i> PQR </i>, сторона которого равна2<i><img src="/storage/problem-media/108861/problem_108861_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро<i> HR </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> H </i>и середину ребра<i> QR </i>, а другая проходит через точку<i> R </i>и середину ребра<i> PQ </i>.
Основанием пирамиды<i> SABC </i>является равнобедренный прямоугольный треугольник<i> ABC </i>, гипотенуза<i> AB </i>которого равна4<i><img src="/storage/problem-media/108860/problem_108860_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро пирамиды<i> SC </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> S </i>и середину ребра<i> AC </i>, а другая проходит через точку<i> C </i>и середину ребра<i> AB </i>.
Докажите, что расстояние от точки <!-- MATH $M(x_{0};y_{0})$ --> <i>M</i>(<i>x</i><sub>0</sub>;<i>y</i><sub>0</sub>) до прямой, заданной уравнением <!-- MATH $ax + by + c = 0$ --> <i>ax</i> + <i>by</i> + <i>c</i> = 0, равно <!-- MATH \begin{displaymath} \frac{|ax_{0}+ by_{0}+ c|}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}. \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\vert ax_{0}+ by_{0}+ c\vert}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$. </div>
Докажите, что любая прямая в декартовых координатах <i>xOy</i> имеет уравнение вида <!-- MATH $ax + by + c = 0$ --> <i>ax</i> + <i>by</i> + <i>c</i> = 0. где <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел <i>a</i>, <i>b</i> отлично от нуля.
В трапеции <i>ABCD AB</i> – основание, <i>AC = BC</i>, <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.
Площадь треугольника равна 6$\sqrt{6}$, периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно <!-- MATH $\frac{2\sqrt{42}}{3}$ --> ${\frac{2\sqrt{42}}{3}}$. Найдите наименьшую сторону треугольника.
На доске написано несколько целых положительных чисел: <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... , <i>a<sub>n</sub></i>. Пишем на другой доске следующие числа: <i>b</i><sub>0</sub> – сколько всего чисел на первой доске, <i>b</i><sub>1</sub> – сколько там чисел, больших единицы, <i>b</i><sub>2</sub> – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа <i>c</i><sub>0</sub>, <i>c</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>2</sub>, ... , построенные по ч...
В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)