Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: <i>x</i>² + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i>² + <i>a</i><sub>9</sub><i>x + b</i><sub>9</sub>. Известно, что последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>9</sub> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>9</sub> – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif"> при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2<sup>2011</sup>).
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">. Найдите <i>f</i>(–1).
Решите уравнение {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.
На доске написано: <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> так, что отрезки <i>AM</i>, <i>BK</i> и <i>CP</i> пересекаются в одной точке и <img src="/storage/problem-media/108604/problem_108604_img_2.gif"> Докажите, что <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.
В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>C'</i> и <i>A'</i> – произвольные точки на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, <i>B'</i> – середина стороны <i>AC</i>.
а) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> не больше половины площади треугольника <i>ABC</i>.
б) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> равна четверти площади треугольника <i>ABC</i> тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек <i>A', C'</i> совпадает с серединой соответствующей стороны.
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.
В ряд выписаны действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>1996</sub>. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
{<i>a<sub>n</sub></i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт 1 – |1 – 2<i>x</i>|.
а) Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i><sub>1</sub> рационально.
Последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... такова, что для каждого <i>n</i> уравнение <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub><i>x</i>² + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>x</i> + <i>a<sub>n</sub></i> = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?
Существует ли кусочно-линейная функция <i>f</i>, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))= – <i>x</i> при всех <i>x</i>?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
Найти число решений в натуральных числах уравнения [<sup><i>x</i></sup>/<sub>10</sub>] = [<sup><i>x</i></sup>/<sub>11</sub>] + 1.
При каком натуральном <i>K</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif"> достигает максимального значения?
а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что {<i>a</i>} + {<sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>} = 1.
б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?
Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif"> и <sup>1</sup>/<sub><i>а</i></sub> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif"> принимают целые значения.
Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2<sup>x</sup>?