Назад

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: площадь A'B'C' в треугольнике ABC

Задача 198455 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.

  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.

  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Решение

Решение 1:   а) Будем двигать точку C' по стороне AB от точки A к точке B. При этом длина высоты треугольника A'B'C', опущенной на основание A'B', будет либо оставаться неизменной (если  AB || A'B'),  либо убывать (как на нашем рисунке), либо возрастать. Поэтому площадь SA'B'C' заключена между SA'B'A и SA'B'B. Но  SA'B'A = ½ SA'CA ≤ ½ SABC  и  SA'B'B ≤ SBB'C = ½ SABC.

  б) Пусть A'' и C'' – середины соответственно сторон BC и AB. Если A' совпадает с A'', то  AB || A'B'  и, как показано выше,  SA'B'C' = SA''B'C' = ¼ SABC.  Если же A' не совпадает с A'', то прямые AB и A'B' не параллельны, поэтому площадь SA'B'C' монотонно изменяется при движении точки C' по стороне AB и, следовательно, может принять значение ¼ SABC только при одном положении точки C' (а именно при  C' = C'').

Решение 2:   Примем площадь SABC за единицу. Пусть  BC' : C'A = x : (1 – x),  BA' : A'C = y : (1 – y),  где  0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1.  Тогда  SAB'C' = ½ (1 – x),  SA'B'C = ½ (1 – y),

SA'BC' = xy,  а  SA'B'C' = 1 – SAB'C' – SA'B'C – SA'BC' = ½ (x + y) – xy = ¼ – (½ – x)(½ – y).

  Теперь утверждение б) очевидно, а утверждение а) сводится к проверке неравенства  (½ – x)(½ – y) ≥ –¼,  которое следует из неравенств

|½ – x| ≤ ½,  |½ – y| ≤ ½.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет