Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 6-8 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа  <i>a + b</i>  и  <i>aⁿ + bⁿ</i>  – целые?

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству  <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i>⁶ + <i>b</i>⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">

</center>

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">

<i>x</i>₁ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0,  <i>x</i>₂ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² – <i>ax – b</i> = 0.

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + 2<i>b</i> = 0  имеет вещественный корень, заключённый между <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂.  (<i>a</i> и <i>b</i> – вещественные числа).

Каждой паре чисел <i>x</i> и <i>y</i> поставлено в соответствие некоторое число <i>x</i><i>y</i>. Найдите 19931935, если известно, что для любых трёх чисел <i>x, y, z</i>  выполнены тождества:  <i>x</i><i>x</i> = 0  и  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i><i>y</i>) + <i>z</i>.

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

  б) Сколько существует значений <i>x</i>₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом <i>T</i> (для каждого <i>T</i> = 2, 3, ...)?

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98152/problem_98152_img_2.gif">  

Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.

Сколько существует таких пар натуральных чисел  (<i>m, n</i>),  каждое из которых не превышает 1000, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">

Последовательность чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  такова, что  <i>x</i>₁ = ½  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_2.gif">   для всякого натурального <i>k</i>.

Найдите целую часть суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_3.gif">

Найдется ли такое <i>n</i>, при котором  <img align="middle" src="/storage/problem-media/88296/problem_88296_img_2.gif" width="141" height="41"> ?   А больше 1000?

Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>

Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через<nobr><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</nobr>номер первой из задач<nobr><i>x</i>-го</nobr>номера за<nobr><i>y</i>-й</nobr>год. Напишите общую формулу для<nobr><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>),</nobr>где<nobr>1 <font face="Symbol">£</font> <i>x</i> <font face="Symbol">£</font> 12</nobr>и<nobr>1970 <font face="Symbol">£</font> <i>x</i> <font face="Symbol">£</font> 1989.</nobr>Решите уравнение<nobr><i&g...

На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется<i>неудачной</i>, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на верхних $k$ карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство  $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$.  ([$x$] – целая часть числа $x$.)

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

Докажите, что для любых натуральных <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>k</i> таких, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_2.png">, у уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_3.png">не больше чем <i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a</i>_<i>k</i> решений в натуральных числах. ([<i>x</i>] – целая часть числа <i>x</i>, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее <i>x</i>.)

  Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в  37·⁴⁰/₁₀₀ = 14,8  и будет округлена до 15.)

  Студенты Петя и Вася получили оценки <i>a</i> и <i>b</i>, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка <i>b</i>, а у Васи – оценка <i>a</i>...

Пусть <i>A</i> и <i>B</i> – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных <i>A</i>, сложили прямоугольник, подобный <i>B</i>.

Докажите, что из прямоугольников, равных <i>B</i>, можно сложить прямоугольник, подобный <i>A</i>.

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α<i>^k</i> рублей при каждом натуральном <i>k</i>. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?