Олимпиадные задачи по теме «Числовые последовательности» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Последовательность(<i>a_n</i>)задана условиями<i> a₁= </i>1000000,<i> a_n+</i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

По данному натуральному числу <i>a</i>₀ строится последовательность {<i>a_n</i>} следующим образом   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif">   если <i>a_n</i> нечётно, и ^<i>a</i>₀/₂, если <i>a_n</i> чётно. Докажите, что при любом нечётном  <i>a</i>₀ > 5  в последовательности {<i>a_n</i>} встретятся сколь угодно большие числа.

Последовательность натуральных чисел <i>a_n</i> строится следующим образом: <i>a</i>₀ – некоторое натуральное число;  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = &frac15; <i>a_n</i>,  если <i>a_n</i> делится на 5;

<i>a</i>_<i>n</i>+1 = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a_n</i>],  если <i>a_n</i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a_n</i> возрастает.

Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109692/problem_109692_img_2.gif"></div>

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, ...  такова, что для каждого <i>n</i> уравнение  <i>a</i>_<i>n</i>+2<i>x</i>² + <i>a</i>_<i>n</i>+1<i>x</i> + <i>a_n</i> = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть

  а) равным 10;

  б) бесконечным?

При каком натуральном <i>K</i> величина   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif">   достигает максимального значения?

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  <i>a_{a_k}</i> = 3<i>k</i>  для любого <i>k</i>.

Найти   а)  <i>a</i>₁₀₀;   б)  <i>a</i>₁₉₈₃.

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

При каком значении<i>K</i>величина<i>A</i>_k=${\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$максимальна?

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i>₁ – сумма исходных чисел, <i>a</i>₂ – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i>₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.

  а) Могло ли случиться, что до <i>a</i>₅ последовательность убывает  (<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > <i>a</i>₃ > <i>a</i>₄ > <i>a</i>₅),  а начиная с <i>a</i>₅ – возрастает  (<i>a</i>₅ < <i>a...

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.

  а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.

  б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.

  По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" <i>n</i> мальчиков. В тире, куда пришли ребята, <i>n</i> мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.

  а) Найти среднее количество поражённых мишеней.

  б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше ^<i>n</i>/₂?

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A₀(x₀,f(x₀))</i>,<i>A₁(x₁,f(x₁))</i>,...,<i>A_n(x_n,f(x_n))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B₀(x₀,x₀)</i>,<i>B<...

Дано <i>N</i> точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из <i>k</i> цветов. Докажите, что если  <i>N</i> > [<i>k</i>!<i>e</i>],  то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

За дядькой Черномором выстроились чередой бесконечное число богатырей разного роста. Докажите, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечное число богатырей и все они стояли по росту (в порядке возрастания или убывания).