Задача
Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
Решение
а) Муха никогла не попадёт в точку с абсциссой 1, только если она на каждом шаге двигается вверх. Вероятность этого равна 0,5·0,5·0,5·0,5·... = 0.
Таким образом, муха обязательно попадёт в точку с абсциссой 1. Рассуждая точно так же, получим, что рано или поздно муха из точки с абсциссой 1 перейдёт в точку с абсциссой 2. И так далее – рано или поздно муха достигнет любой целой положительной абсциссы. В частности, абсциссы 2011. б) В среднем на один шаг вверх приходится один шаг вправо. Значит, на 2011 шагов вправо, следует ожидать 2011 шагов вверх.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь