Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» - сложность 5 с решениями

Окружность с центром <i> I </i>касается сторон <i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> AC </i>неравнобедренного треугольника <i> ABC </i>в точках<i> C₁ </i>,<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>соответственно. Окружности <i> ω_B </i>и <i> ω_C </i>вписаны в четырехугольники <i> BA₁IC₁ </i>и <i> CA₁IB₁ </i>соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к <i> ω_B </i>и <i> ω_C </i>, отличная от ...

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (<i>x,y</i>)такие, что<i> x²+y²<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115399/problem_115399_img_2.gif"> </i>10<i></i>10. Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.

Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>– точки пересечения лучей<i> BA </i>и<i> CD </i>,<i> BC </i>и<i> AD </i>соответственно, а<i> H </i>– проекция<i> D </i>на<i> PQ </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> ABCD </i>является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников<i> ADP </i>и<i> CDQ </i>видны из точки<i> H </i>под равными углами.

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса1. Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса<i> <img src="/storage/problem-media/111864/problem_111864_img_2.gif"> </i>.

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_2.gif"> </i>, б) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_3.gif"> </i>, в) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_4.gif"> </i>?

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине<i> A </i>квадрата<i> ABCD </i>находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке<i> A </i>). Вначале лиса сидит в точке<i> C </i>, а зайцы – в точках<i> B </i>и<i> D </i>. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше<i> v </i>, а зайцы – по лучам<i> AB </i>и<i> AD </i>со скоростью не больше 1. При каких значениях<i> v </i>лиса сможет поймать обоих зайцев?

Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно<i> <img src="/storage/problem-media/111041/problem_111041_img_2.gif">/</i>2умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.

Дан выпуклый четырехугольник<i> ABCD </i>.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>,<i> D' </i>– ортоцентры треугольников<i> BCD </i>,<i> CDA </i>,<i> DAB </i>,<i> ABC </i>. Докажите, что в четырехугольниках<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей<i> b₁ </i>и<i> b₂ </i>касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей<i> c₁ </i>и<i> c₂ </i>касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что8точек, в которых окружности<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>пересекают<i> c₁ </i>,<i> c₂ </i>, лежат на двух окружностях, отличных от<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>,<i> c₁ </i>,&lt...

Четырехугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность с центром<i> O </i>. Точки<i> C' </i>,<i> D' </i>симметричны ортоцентрам треугольников<i> ABD </i>и<i> ABC </i>относительно<i> O </i>. Докажите, что если прямые<i> BD </i>и<i> BD' </i>симметричны относительно биссектрисы угла<i> B </i>, то прямые<i> AC </i>и<i> AC' </i>симметричны относительно биссектрисы угла<i> A </i>.

Рассмотрим 5 точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>так что<i>A</i><i>B</i><i>C</i><i>D</i>- параллелограмм,<i>B</i><i>C</i><i>E</i><i>D</i>лежат на одной окружности.<i>A</i>∈<i>l</i>, прямая<i>l</i>пересекает внутренность [<i>D</i><i>C</i>] в<i>F</i>и прямую<i>B</i><i>C</i>в<i>G</i>. Пусть<i>E</i><i>F</i>=<i>E</i><i>G</i>=<i>E</i><i>C</i>. Доказать, что<i>l</i>- биссектриса угла<i>D</i><i>A</i><i>B</i>...

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1. все грани равновелики;

2. каждое ребро равно противоположному;

3. все грани равны;

4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5. суммы углов при каждой вершине равны;

6. сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i>^o </i>;

7. развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8. все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9. ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10. параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11...

При каких натуральных<i> n </i>для любых чисел<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>, являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство <center><i>

sin nα + sin nβ + sin nγ<</i>0<i>? </i></center>

Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

Окружность<i> σ </i>касается равных сторон<i> AB </i>и<i> AC </i>равнобедренного треугольника<i> ABC </i>и пересекает сторону<i> BC </i>в точках<i> K </i>и<i> L </i>. Отрезок<i> AK </i>пересекает<i> σ </i>второй раз в точке<i> M </i>. Точки<i> P </i>и<i> Q </i>симметричны точке<i> K </i>относительно точек<i> B </i>и<i> C </i>соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> PMQ </i>касается окружности<i> σ </i>.

На плоскости дано конечное множество точек<i> X </i>и правильный треугольник<i> T </i>. Известно, что любое подмножество<i> X' </i>множества<i> X </i>, состоящее из не более9точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника<i> T </i>. Докажите, что все множество<i> X </i>можно покрыть двумя параллельными переносами<i> T </i>.

На плоскости даны два таких конечных набора<i> P₁ </i>и<i> P₂ </i>выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов<i> P₁ </i>и<i> P₂ </i>есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Дан выпуклый<i> n </i>-угольник (<i> n></i>3), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.

Проведем через основание биссектрисы угла<i> A </i>разностороннего треугольника<i> ABC </i>отличную от стороны<i> BC </i>касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через<i> K_a </i>. Аналогично построим точки<i> K_b </i>и<i> K_c </i>. Докажите, что три прямые, соединяющие точки<i> K_a </i>,<i> K_b </i>и<i> K_c </i>с серединами сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.

Внутри выпуклого стоугольника выбрано<i> k </i>точек,2<i><img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> k<img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> </i>50. Докажите, что можно отметить2<i>k </i>вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри2<i>k </i>-угольника с отмеченными вершинами.