Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии 10-11 класса от Дольникова и Карасева

Нам понадобятся две леммы:

Лемма 1.Если два треугольника T₁ и T₂ гомотетичны с положительным коэффициентом и треугольник T₂ пересекает каждую прямую, содержащую сторону треугольника T₁ , то T₂ содержит T₁ . Доказательство.Очевидно.

Лемма 2.Для любого конечного множества точек M и треугольника T найдется треугольник T' , гомотетичный T с положительным коэффициентом, содержащий M и содержащий на каждой своей стороне какую-то точку из M . Доказательство.Рассмотрим какой-то треугольник, положительно гомотетичный T и содержащий M . Если какая-то его сторона не пересекается с M , уменьшим его гомотетией с центром в противоположной этой стороне вершине и добьемся, чтобы сторона пересеклась с M и треугольник все еще содержал M . Повторяя это для каждой стороны, получим требуемое.

Заметим, что в условии предыдущей леммы любой положительно гомотетичный T треугольник, содержащий M , содержит также и T' по лемме 1.

Теперь перейдем к решению задачи. Применимлемму 2к T и X . Получим треугольник, обозначим его для определенности ABC . На сторонах BC , AC и AB есть соответственно три точки x_A , x_B и x_C из множества X , среди которых могут быть совпадающие.

Если ABC не превосходит T по размерам, доказательство очевидно закончено. Иначе рассмотрим три треугольника AB_AC_A , A_BBC_B и A_CB_CC , положительно гомотетичные ABC с центрами в его вершинах и равные исходному T . Обозначим подмножества множества X

Лемма 3.Если какой-то треугольник T' , получающийся из T параллельным переносом, содержит точки x_A и x_B , то он не может пересекать множество X_C . Аналогично для других пар точек и соответствующего им множества. Доказательство.Предположим противное. Так как T' содержит x_A и x_B , то одна из этих точек лежит по одну сторону с C относительно A_CB_C , иначе длина стороны T' больше A_CB_C .

Тогда можно заметить, что T' пересекает все прямые сторон A_CB_CC , а значит содержит A_CB_CC . Так как эти треугольники равны, то они совпадают, но тогда T' не может пересекать X_CЛемма доказана.

Теперь применимлемму 2к треугольнику T и множествам X_A , X_B , X_C , получим треугольники T_A , T_B , T_C , причем на их сторонах можно выбрать точки {x_AB, x_AC, x_A} , {x_BA, x_BC, x_B} , {x_CA, x_CB, x_C} соответственно (некоторые из них могут совпасть), лежащие в соответствующих множествах X_A, X_B, X_C.

К точкам x_A , x_B , x_C , x_AB , x_AC , x_BA , x_BC , x_CA , x_CB применим условие задачи. Они содержатся в треугольниках T₁ и T₂ , являющихся параллельными переносами T .

Какие-то две из первых трех точек содержатся в одном из этих треугольников, без ограничения общности x_A,x_B T₁ . Тогда полемме 3треугольник T₁ не пересекает множество X_C и все три точки x_C , x_CA , x_CB содержатся в другом треугольнике T₂ . Отсюда следует, что множество X_C содержится в T₂ по лемме 1; значит, треугольники A_CB_CC и T₂ покрывают все множество X .

Ответ задачи отсутствует