Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии 5 уровня для 8-11 классов: разрезание выпуклого многоугольника на остроугольные треугольники

Пусть дан выпуклый n -угольник. Утверждение верно при n=3. Пусть n 4. Будем называть триангуляцией разбиение n -угольника непересекающимися диагоналями на треугольники; остроугольной триангуляцией назовем разбиение n -угольника непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники. Треугольник из триангуляции назовем крайним, если две из его сторон являются сторонами n -угольника. Нам понадобятся следующие утверждения:

(i)В любой триангуляции найдутся по меньшей мере два крайних треугольника. Действительно, сумма углов всех треугольников из триангуляции равна сумме углов n -угольника, т.е. равна(n-2)π . Поскольку сумма углов треугольника равна π , количество треугольников в триангуляции равно n-2. Каждая из n сторон многоугольника является стороной одного из n-2треугольников, причем у одного треугольника не более двух сторон являются сторонами n -угольника. Отсюда легко следует(i).

(ii)У выпуклого n -угольника не более трех острых углов. Действительно, предположив противное, получаем, что у n -угольника найдутся хотя бы 4 тупых внешних угла, сумма которых больше, чем4· = 2π . Но как известно, сумма внешних углов выпуклого n -угольника равна2π . Противоречие.

Перейдем к решению задачи. Предположим, что нашлись две различные остроугольные триангуляции Δ ₁ , Δ ₂ выпуклого n -угольника. Обозначим через A множество всех острых углов n -угольника. Рассмотрим крайний треугольник T триангуляции Δ ₁ . Один из его углов является углом n -угольника. А поскольку T остроугольный, этот угол является углом из множества A . Так как найдутся два крайних треугольника в триангуляции Δ ₁ (согласно(i)), то два угла из множества A являются углами крайних треугольников триангуляции Δ ₁ . То же справедливо и для триангуляции Δ ₂ . Согласно(ii), в множестве A содержится не более трех углов. Следовательно, хотя бы один угол из множества A одновременно является углом крайнего треугольника T₁ триангуляции Δ ₁ и крайнего треугольника T₂ триангуляции Δ ₂ . Это означает, что треугольники T₁ и T₂ совпадают, т.е. что в Δ ₁ и Δ ₂ имеется общий крайний треугольник. Отрезав его, перейдем к исходной задаче для выпуклого ( n-1)-угольника. Продолжая процесс отрезания крайних треугольников, получаем, что Δ ₁ и Δ ₂ состоят из одинаковых наборов треугольников.

Ответ задачи отсутствует