Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса параллелограмма и окружность | 9-11 класс

Решение. ПустьP,M,N- середины [BD], [CF], [CG] соответственно. ПосколькуABCD- параллелограмм,P∈ [AC]. Т.к. |EC| = |EF|, [EM] ⊥ [CF], аналогично [EN] ⊥ [CG].

Рассмотрим гомотетию с центром вCи коэффициентом 1/2. При этомA,F,Gотображаются вP,M,N. Таким образом,P,M,Nлежат на одной прямой. ПустьP' - основание высоты, опущенной изЕнаBD. Т.к.Ележит на окружности, описанной около треугольникаBCD, точкиP',MиNлежат на одной прямой (прямой Симпсона).

Таким образом, либоP=P', либоЕлежит на перпендикуляре к биссектрисеBD.

Т.к.ÐBPE=ÐCME= π/2 иÐPBE=ÐMCE, ΔPEB= ΔMEC, теперьÐMNC=ÐMEC=ÐPEB= 1/2ÐDEB= 1/2ÐDCB= 1/2ÐD.

Итак,lи прямая СимпсонаPMNгомотетичны и параллельны. Посему угол междуlиADравен углу междуMNиBC, и, таким образом,l- биссектриса углаDAB.

Ответ задачи отсутствует