Олимпиадная задача по планиметрии: выбор точек в выпуклом стоугольнике, 9–11 класс
Задача
Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек,2
k 50. Докажите, что можно отметить2k вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри2k -угольника с отмеченными
вершинами.
Решение
Будем называть выпуклой оболочкой конечного множества точек наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все эти точки. Можно доказать, что у любого конечного множества точек существует единственная выпуклая оболочка.
Пусть M=A1A2.. An – выпуклая оболочка выбранных k точек ( n k ), и точка O
M отлична от A1 , A2 , An .
Рассмотрим отрезки OAi и продолжим каждый из них за точку Ai до пересечения с границей стоугольника в точке Bi . Докажем, что M находится внутри выпуклой оболочки M' точек B1 , B2 , Bn .
Разрежем многоугольник A1A2.. An на треугольники.
Тогда, как легко видеть, если O AiAjAk , то O BiBjBk , а,
следовательно, O лежит также и в выпуклой оболочке точек B1 , Bn .
Поскольку Ai лежит внутри отрезка OBi , то Ai M' , и M лежит внутри M' .
Выберем для каждой точки Bi сторону многоугольника, ее содержащую.
Рассмотрим множество концов этих сторон. В нем m2n2k точек.
Добавим к ним произвольным образом2k-m вершин стоугольника и рассмотрим2k -угольник с
вершинами в полученных точках. Он выпуклый, его граница содержит точки B1 , B2 , Bn и, следовательно, он содержит M' и M .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь