Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» - сложность 4-5 с решениями
Планиметрия
НазадНа стороне <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i> выбрали точку <i>M</i>. Пусть <i>X, Y, Z</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABM, CMD, AMD</i> соответственно; <i>H<sub>x</sub>, H<sub>y</sub>, H<sub>z</sub></i> – ортоцентры треугольников <i>AXB, CYD, AZD</i> соответственно. Докажите, что точки <i>H<sub>x</sub>, H<sub>y</sub>, H<sub>z</sub></i> лежат на одной прямой.
Пусть <i>M</i> и <i>I</i> – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а <i>r</i> – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что <i>MI</i> = <sup><i>r</i></sup>/<sub>3</sub> тогда и только тогда, когда прямая <i>MI</i> перпендикулярна одной из сторон треугольника.
Точка <i>E</i> – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> с его вершиной <i>A</i>. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. Докажите, что точка <i>F</i>, симметричная точке <i>E</i> относительно прямой <i>B'C'</i>, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>Z. AA</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты. Прямая <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекает прямые <i>ZA, ZC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i> касаются.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной прямой <i>l</i> обозначим через <i>l<sub>a</sub></i>, <i>l<sub>b</sub></i>, <i>l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, а через <i>I<sub>l</sub></i> – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек <i>I<sub>l</sub></i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.
Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>N</i> – середина дуги <i>BAC</i> его описанной окружности, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Обозначим через <i>I</i><sub>1</sub> и <i>I</i><sub>2</sub> центры вписанных окружностей треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> соответственно. Докажите, что точки <i>I</i><sub>1</sub>, <i>I</i><sub>2</sub>, <i>A</i>, <i>N</i> лежат на одной окружности.
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> C </i>и на отрезках<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CA </i>как на диаметрах построены соответственно полуокружности<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>по одну сторону от<i> AC </i>. В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность<i> δ</i>1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i> β </i>и окружностью<i> δ</i>1, вписана окружность<i> δ</i>2и т.д. (окружность<i> δ<sub>n</sub> </i>вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i>...
Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
Боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> являются соответственно хордами окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> равны α и β. Окружности ω<sub>3</sub> и ω<sub>4</sub> также имеют хорды <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Их дуги <i>AB</i> и <i>CD</i>, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω<sub>3</sub> и ω<sub>4</sub> тоже касаются.
Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Через <i>A</i><sub>1</sub> обозначим середину дуги <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, не содержащей точки <i>A</i>, а через <i>A</i><sub>2</sub> – середину дуги <i>BAC</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>A</i><sub>1</sub> на прямую <i>A</i><sub>2</sub><i>I</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.
а) Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i>...
Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?
Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же окружности?
На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i>; описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i>, вторично пересекаются в точке <i>P</i>, <i>Z</i> – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, проведённых в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i>, <i>BC</i> и <i>ZC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.
Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>. Известно, что треугольники, образованные проекциями <i>P</i> и <i>Q</i> на стороны <i>ABC</i>, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360<i><sup>o </sup> </i>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360<i><sup>o</sup> </i>.
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
К двум окружностям <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>, пересекающимся в точках <i>A</i> и <i>B</i>, проведена их общая касательная <i>CD</i> (<i>C</i> и <i>D</i> – точки касания соответственно, точка <i>B</i> ближе к прямой <i>CD</i>, чем <i>A</i>). Прямая, проходящая через <i>A</i>, вторично пересекает <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> в точках и <i>L</i> соответственно (<i>A</i> лежит между <i>K</i> и <i>L</i> ). Прямые <i>KC</i> и <i>LD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, ч...
Фиксированы две окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...
B треугольнике <i>ABC</i> точка <i>O</i> – центр описанной окружности. Прямая <i>a</i> проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины <i>A</i>, и параллельна <i>OA</i>. Aналогично определяются прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.