Олимпиадная задача: Лиса и зайцы в квадрате — планиметрия и алгоритмы, 9-11 класс

Введем прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с точкой A , а точки B , C и D имеют в ней координаты(0,1),(1,1)и(1,0)соответственно. Укажем такое поведение зайцев, которое при некоторых значениях v заведомо позволяет спастись одному из них, а затем определим эти значения v . Расстояние между двумя прямыми, задаваемыми в нашей системе координат уравнениями y=x+a и y=x+b соответственно, равно . Следовательно, за то время, пока лиса сможет переместиться с одной из этих прямых на другую, каждый из зайцев сможет пробежать расстояние . По условию и в силу выбора системы координат в начальный момент времени лиса находится на прямой y=x . Поэтому в момент, когда лиса находится на прямой y=x+a , зайцы, стартовавшие из точек B и D , всегда смогут находиться в точках с координатами(0,1+)и(1-,0)соответственно (пока эти координаты неотрицательны). Пусть зайцы следуют этой стратегии. Будем называть этих зайцев первым и вторым. Без ограничения общности можно считать, что сначала лиса поймает первого зайца. Это произойдет в точке(0,1+), принадлежащей прямой y=x+a , т.е. при1+=a . Находя a , получим, что эта точка имеет ординату a= . Действуя согласно указанной стратегии, второй заяц в этот момент будет находиться в точке с абсциссой1-= (если эта абсцисса окажется отрицательной, второй заяц спасется раньше, чем лиса поймает первого зайца). Если в момент поимки первого зайца отношение ординаты лисы к абсциссе второго зайца окажется больше значения v , то второй заяц спасется бегством к точке A . Значит, при >v· , т.е. при v<1+ , предложенное поведение зайцев заведомо позволяет спастись одному из них.

Пусть теперь v 1+ . Укажем поведение лисы, при котором она сможет поймать обоих зайцев. Пусть сначала она бежит по прямой y=x к точке A с максимальной скоростью. Поскольку в точку A лиса сможет прибежать раньше каждого из зайцев, то обязательно настанет такой момент, что расстояние от лисы до этой точки станет равным наименьшему из расстояний от каждого из зайцев до точки A . Без ограничения общности будем считать, что наименьшим будет расстояние от первого из зайцев до A , а координаты лисы и первого зайца в этом момент равны(a,a)и(0,a)соответственно. Тогда, двигаясь прямолинейно с максимальной скоростью сначала в точку с координатой(0,2a), а затем в точку A , лиса поймает первого зайца и окажется в точке A не позже второго (см. рис.). Действительно, за время, пока лиса пробежит от точки(a,a)до точки(0,2a), первый заяц пробежит не более . Так как a+ 2a при v 1+ , то он не убежит за точку(0,2a), а так как a- , то двигаясь от точки(0,2a)в точку A , лиса успеет поймать его. Так как в тот момент, когда лиса свернула с прямой y=x , второй заяц находился не ближе к точке A , чем первый заяц, то до точки A лиса добежит не позже, чем второй заяц. Побежав затем по лучу AD , лиса поймает и его. Введем ортогональную систему координат, начало которой совпадает с точкой A , а точки B , C и D имеют в ней координаты(0,1),(1,1)и(1,0)соответственно. Укажем такое поведение зайцев, которое при некоторых значениях v заведомо позволяет спастись одному из них, а затем определим эти значения v . Расстояние между двумя прямыми, задаваемыми в нашей системе координат уравнениями y=x+a и y=x+b соответственно, равно . Следовательно, за то время, пока лиса сможет переместится с одной из этих прямых на другую, каждый из зайцев сможет пробежать расстояние . По условию и в силу выбора системы координат в начальный момент времени лиса находится на прямой y=x . Поэтому в момент, когда лиса находится на прямой y=x+a зайцы, стартовавшие из точек B и D , всегда смогут находиться в точках с координатами(0,1+ )и(1- ,0)соответственно (пока эти координаты неотрицательны). Пусть зайцы ведут себя указанным образом. Будем называть их первым и вторым соответственно. Без ограничения общности можно считать, что сначала лиса поймает первого зайца. Очевидно, лиса сможет поймать первого зайца лишь в точке(0,1+), принадлежащей прямой y=x+a , то есть при1+=a . Эта точка имеет ординату a= . Согласно указанному поведению, второй заяц в этот момент будет находиться в точке с абсциссой1-= (если эта абсцисса окажется отрицательной, второй заяц спасется раньше, чем лиса поймает первого зайца). Поэтому, если в указанный момент времени отношение ординаты первого зайца к абсциссе второго окажется больше значения v , то второй заяц спасется бегством к точке A после поимки первого. Значит, при > v· v<1+ предложенное поведение зайцев заведомо позволяет спастись одному из них. Пусть теперь v 1+ . Укажем поведение лисы, при котором она сможет поймать обоих зайцев. Пусть сначала она бежит по прямой y=x к точке A с максимальной скоростью. Поскольку в точку A лиса сможет прибежать раньше каждого из зайцев, то обязательно настанет такой момент, что расстояние лисы от этой точки станет равным наименьшему из расстояний каждого из зайцев до точки A . Без ограничения общности будем считать, что наименьшим будет расстояние первого из зайцев от A , а координаты лисы и первого зайца в этом момент равны(a,a)и(0,a)соответственно. Тогда, двигаясь прямолинейно с максимальной скоростью сначала в точку с координатой(0,2a), а затем в точку A , лиса поймает первого зайца и окажется в точке A не позже второго (см. рис.). Действительно, расстояние от точки с координатой(0,a)до точки с координатой(0,2a)равное a(2-)не менее – деленному на v расстоянию от точки с координатой(a,a)до точки с координатой(0,2a). Значит первый из зайцев заведомо попадется. Не спасется также и второй из зайцев, так как его расстояние до A не менее – деленному на v указанному пути лисы.

v 1+ .