Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 8 класса

Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116965/problem_116965_img_2.gif"></div>

В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат:

  а) за 5 или менее;

  б) за 4 или менее;

  в) за 3 или менее таких перегибания?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116962/problem_116962_img_2.gif"></div>

Три попарно непересекающиеся окружности ω_<i>x</i>, ω_<i>y</i>, ω_<i>z</i> радиусов <i>r_x, r_y, r_z</i> лежат по одну сторону от прямой <i>t</i> и касаются её в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Известно, что <i>Y</i> – середина отрезка <i>XZ</i>,  <i>r_x = r_z = r</i>,  а  <i>r_y > r</i>.  Пусть <i>p</i> – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_<i>x</i> и ω_<i>y</i>, а <i&g...

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Пусть <i>P</i> и <i>Q</i> – середины меньшей и большей дуг <i>AC</i> окружности Ω, соответственно, а <i>M</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>Q</i> на отрезок <i>AB</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BMC</i> делит пополам отрезок <i>BP</i>.

На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём <i> расстоянием</i> между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем <i>n</i> можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на <i>n</i>, увеличилось?

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, <i>a</i> и <i>b</i>, и одна внутренняя, <i>c</i>. Прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> касаются окружности ω₁ в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников <i>A</i>₁<i>B</i&gt...

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>A</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>. Касательные к Ω, проведённые в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>, пересекаются в точке <i>B'</i>. Докажите, что прямая <i>BB'</i> проходит через центр окружности Ω.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ соответственно. Описанные окружности треугольников <i>BB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>CC</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются в точках <i>P&lt...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>АС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>MKB</i> равен углу <i>MNC</i>, а угол <i>KMB</i> равен углу <i>KNA</i>. Докажите, что <i>NB</i> – биссектриса угла <i>MNK</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> медиана, проведённая из вершины <i>A</i> к стороне <i>BC</i>, в четыре раза меньше стороны <i>AB</i> и образует с ней угол 60°. Найдите угол <i>А</i>.

В четырёхугольнике есть два прямых угла, а его диагонали равны. Верно ли, что он является прямоугольником?

На клетчатой бумаге нарисован квадрат 7×7. Покажите, как разрезать его по линиям сетки на шесть частей и сложить из них три квадрата.

Пусть <i>AH</i> – высота остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – проекции <i>H</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>KL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а прямую <i>AH</i> – в точках <i>A</i> и <i>T</i>. Докажите, что точка <i>H</i> является центром вписанной окружности треугольника <i>PQT</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>BC = a</i>,  <i>AB = AC = b</i>.  На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором

<i>AD = DC = a</i>.  Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.

<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что  <i>AM = NC</i>.  На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что  <i>CN = BK</i>.  Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.

При каких  <i>n</i> > 3  правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i>₁<i>A</i>₂ треугольника <i>OBA</i>₁ и высоту <i>B</i>₁<i>B</i>₂ треугольника <i>OAB</i>₁. Докажите, что отрезок <i>A</i>₂<i>B</i>₂ параллелен стороне <i>AB</i>.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>Q</i> симметрична середине стороны <i>AC</i> относительно <i>AA</i>₁. Точка <i>P</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>QPH</i> = 90°.

Окружность Ω описана около треугольника <i>ABC</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> взяли такую точку <i>B</i>₁, что  <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>.  Биссектриса угла <i>A</i> пересекает Ω вторично в точке <i>W</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>AWB</i>₁ лежит на Ω.

Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка <i>P</i> внутри него, что сумма расстояний от <i>P</i> до вершин больше периметра четырёхугольника?