Олимпиадная задача по планиметрии: восстановление треугольника по точкам

Решение 1:   Пусть K – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AB (K лежит на отрезке MN). Заметим, что

MK = AK – AM = ½ (AB + AC – BC) – ½ (AL + AC – LC) = ½ (BL + LC – BC) = LN.

  Пусть I_a, I_b и I – центры вписанных окружностей w_a, w_b и w, в треугольники ACL, BCL и ABC, соответственно. По свойству биссектрисы и теореме Фалеса имеем  AL : IL = AI_a : I_aI = AM : MK,  IL = ^AL·MK/_AM.

  Итак, мы можем последовательно построить точку K, затем I (как пересечение окружности с центром L и перпендикуляра к MN в точке K), I_a и I_b (как пересечение биссектрис углов ALI и CLI с перпендикулярами к отрезку MN в его концах), окружности w_a и w_b и, наконец, точки C (как пересечение касательных к w_a из A и L) и B (как пересечение MN с касательной к w_b из точки C).

Решение 2:   Обозначим через  x = AC,  y = CL,  z = LA  длины сторон треугольника ACL, через p, S и r – его полупериметр, площадь и радиус вписанной окружности соответственно, а через h – его высоту, опущенную из вершины C; пусть  ∠ACL = 2φ.  Из формулы Герона   

  Поэтому     В треугольнике BCL угол при вершине C и высота из этой вершины такие же, следовательно,  ¹/_AM + ¹/_ML = ¹/_LN + ¹/_NB.

  Таким образом, зная отрезки AM, ML, LN, мы можем найти отрезок NB и построить точку B. Из соотношений  AC – CL = AM – LM  и

BC – CL = BN – LN  находим разность  AC – BC = AM – LM – BN + LN = u,  а из равенства  ^AC/_BC = ^AL/_BL = v  – их отношение. Теперь можно найти длины сторон  AC = ^uv/_v–1  и  BC = ^u/_v–1  и построить точку C.

Ответ задачи отсутствует