Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 10-11 класса

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.

Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если  <i>BD = a</i>.

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i>₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i>₁, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i>₁, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).

Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Центр <i>О</i> окружности, описанной около четырёхугольника <i>АВСD</i>, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если  ∠<i>ВАО</i> = ∠<i>DAC,

AC = m,  BD = n</i>.

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

Три попарно непересекающиеся окружности ω_<i>x</i>, ω_<i>y</i>, ω_<i>z</i> радиусов <i>r_x, r_y, r_z</i> лежат по одну сторону от прямой <i>t</i> и касаются её в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Известно, что <i>Y</i> – середина отрезка <i>XZ</i>,  <i>r_x = r_z = r</i>,  а  <i>r_y > r</i>.  Пусть <i>p</i> – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_<i>x</i> и ω_<i>y</i>, а <i&g...

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Пусть <i>P</i> и <i>Q</i> – середины меньшей и большей дуг <i>AC</i> окружности Ω, соответственно, а <i>M</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>Q</i> на отрезок <i>AB</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BMC</i> делит пополам отрезок <i>BP</i>.

На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём <i> расстоянием</i> между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем <i>n</i> можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на <i>n</i>, увеличилось?

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, <i>a</i> и <i>b</i>, и одна внутренняя, <i>c</i>. Прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> касаются окружности ω₁ в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников <i>A</i>₁<i>B</i&gt...

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>A</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>. Касательные к Ω, проведённые в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>, пересекаются в точке <i>B'</i>. Докажите, что прямая <i>BB'</i> проходит через центр окружности Ω.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ соответственно. Описанные окружности треугольников <i>BB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>CC</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются в точках <i>P&lt...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

На стороне <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i> выбрали точку <i>M</i>. Пусть <i>X, Y, Z</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABM, CMD, AMD</i> соответственно; <i>H_x, H_y, H_z</i> – ортоцентры треугольников <i>AXB, CYD, AZD</i> соответственно. Докажите, что точки <i>H_x, H_y, H_z</i> лежат на одной прямой.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Касательная в точке <i>C</i> к его описанной окружности пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ACD</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>DK</i> делит отрезок <i>BC</i> пополам.

В окружность Ω вписан четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> которого перпендикулярны. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116915/problem_116915_img_2.gif"></div>

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Пусть <i>M</i> и <i>I</i> – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а <i>r</i> – радиус вписанной в него окружности.

Докажите, что  <i>MI</i> = ^<i>r</i>/₃  тогда и только тогда, когда прямая <i>MI</i> перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Пусть <i>AH</i> – высота остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – проекции <i>H</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>KL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а прямую <i>AH</i> – в точках <i>A</i> и <i>T</i>. Докажите, что точка <i>H</i> является центром вписанной окружности треугольника <i>PQT</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>BC = a</i>,  <i>AB = AC = b</i>.  На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором

<i>AD = DC = a</i>.  Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.

<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что  <i>AM = NC</i>.  На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что  <i>CN = BK</i>.  Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.

При каких  <i>n</i> > 3  правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.