Олимпиадные задачи из источника «2007-2008» для 8 класса

В нашем распоряжении имеются 3^2<i>k</i>неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3<i>k + </i>1 взвешиваний?

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число  2<i>x</i> + 1  или ^<i>x</i>/_<i>x</i>+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

Вписанная окружность касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Точка <i>K</i>– середина дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> (не содержащей точки <i>C</i>). Оказалось, что прямая <i>XY</i> делит отрезок <i>AK</i> пополам. Чему может быть равен угол <i>BAC</i>?

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>B</i>₀ – середина стороны <i>AC</i>. Прямая <i>BO</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>P</i>, а прямые <i>BH</i> и <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>HB</i>₀ и <i>PQ</i> параллельны.

Найдите все такие тройки действительных чисел <i>x, y, z</i>, что  1 + <i>x</i>⁴ ≤ 2(<i>y – z</i>)² 1 + <i>y</i>⁴ ≤ 2(<i>z – x</i>)²,  1 + <i>z</i>⁴ ≤ 2(<i>x – y</i>)².

Последовательности(<i>a_n</i>)и(<i>b_n</i>)заданы условиями<i> a₁=</i>1,<i> b₁=</i>2,<i> a_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_2.gif"> </i>и<i> b_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_3.gif"> </i>. Докажите, что<i> a</i>2008<i><</i>5.

Дана таблица <i>n×n</i>, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до <i>n</i>. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., <i>n</i>  так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку <i>хорошей</i>, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких <i>n</i> существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел <i>a, b</i>, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² – <i>ax + b</i> = 0  и  <i>x</i>² – <i>bx + a</i> = 0  имеет два целых корня?

Дано конечное множество простых чисел <i>P</i>. Докажите, что найдётся такое натуральное число <i>x</i> , что оно представляется в виде  <i>x = a^p + b^p</i>  (с натуральными <i>a, b</i>) при всех   <i>p</i> ∈ <i>P </i>  и не представляется в таком виде для любого простого <i>p</i> ∉ <i>P</i>.

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Дан треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Касательная к его описанной окружности в точке <i>B</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>D</i> симметрична точке <i>B</i> относительно точки <i>P</i>, а точка <i>E</i> симметрична точке <i>C</i> относительно прямой <i>BP</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABED</i> – вписанный.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Дано натуральное число  <i>n</i> > 1.  Для каждого делителя <i>d</i> числа  <i>n</i> + 1,  Петя разделил число <i>n</i> на <i>d</i> с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

Числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>²(<i>b + c</i>) = <i>b</i>²(<i>a + c</i>) = 2008  и  <i>a ≠ b</i>.  Найдите значение выражения  <i>c</i>²(<i>a + b</i>).

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.

Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

На острове живут100рыцарей и100лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно100человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> нашлись такие точки <i>M</i> и <i>N</i>, отличные от вершин, что  <i>MC = AC</i>  и  <i>NB = AB</i>.  Точка <i>P</i> симметрична точке <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>. Докажите, что <i>PA</i> является биссектрисой угла <i>MPN</i>.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.