Олимпиадная задача по математике о последовательностях и индукции для 8-10 классов (Мурашкин М. В.)

Задача 211872 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Последовательности(a_n)и(b_n)заданы условиями a₁=1, b₁=2, a_n+1= и b_n+1= . Докажите, что a2008<5.

Заметим, что a_n,b_n>0.

Докажем индукцией по n , что -= . База при n=1очевидна: -= . Пусть при некотором n это верно. Тогда имеем

- =- == =-.

Переход доказан.

Итак, при любом n мы получили =+> , то есть a_n+1<6и a_n<5, что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Комментариев нет