Олимпиадная задача с Васей о клетках квадрата 5×5: делимость и инварианты
Задача
В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.
Решение
Назовём ход Васи горизонтальным, если он выбирал клетки, соседние по горизонтали, и вертикальным в противном случае. Рассмотрим изменение суммы чисел во втором и четвёртом столбцах. При любом вертикальном ходе чётность этой суммы не менялась, а при любом горизонтальном – менялась. Так как вначале эта сумма равна нулю, а в конце она чётна (так как она равна удвоенной сумме в столбце), то горизонтальных ходов было сделано чётное число. Аналогично количество вертикальных ходов тоже чётно.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь