Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов от Грибалко А. В.: биссектриса в треугольнике ABC
Задача
На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N, отличные от вершин, что MC = AC и NB = AB. Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN.
Решение
Решение 1:Из симметрии следует, что ∠BPC = ∠A. Отсюда ∠BPC + ∠BMC = ∠B + (180° – ∠AMC) = 180°, поэтому четырёхугольник BMCP – вписанный. Отсюда ∠MPA = ∠MPC – ∠APC = ∠MBC – ∠PAC = ∠B – (90° – ∠C) = ∠B + ∠C – 90°. Аналогично ∠NPA = ∠B + ∠C – 90°.
Решение 2:При гомотетии с центром A и коэффициентом ½ точки P, N и M переходят в основания высот треугольникаAB . Поэтому утверждение задачи следует из того, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника (см. задачу 152866).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь