Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап»

В нашем распоряжении имеются 3^2<i>k</i>неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3<i>k + </i>1 взвешиваний?

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число  2<i>x</i> + 1  или ^<i>x</i>/_<i>x</i>+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

Вписанная окружность касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Точка <i>K</i>– середина дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> (не содержащей точки <i>C</i>). Оказалось, что прямая <i>XY</i> делит отрезок <i>AK</i> пополам. Чему может быть равен угол <i>BAC</i>?

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов  (<i>x</i> > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>H</i> и <i>M</i> – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины <i>A, B</i> и <i>C</i> проведены прямые, перпендикулярные прямым <i>AM, BM, CM</i> соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой <i>MH</i>.

Числа <i>a, b, c</i> таковы, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ <i>a + b + c</i> ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.

При каких натуральных  <i>n</i> > 1  существуют такие натуральные <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  (не все из которых равны), что при всех натуральных <i>k</i> число

(<i>b</i>₁ + <i>k</i>)(<i>b</i>₂ + <i>k</i>)...(<i>b_n + k</i>)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от <i>k</i>, но должен быть больше 1.)

В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>B</i>₀ – середина стороны <i>AC</i>. Прямая <i>BO</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>P</i>, а прямые <i>BH</i> и <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>HB</i>₀ и <i>PQ</i> параллельны.

Найдите все такие тройки действительных чисел <i>x, y, z</i>, что  1 + <i>x</i>⁴ ≤ 2(<i>y – z</i>)² 1 + <i>y</i>⁴ ≤ 2(<i>z – x</i>)²,  1 + <i>z</i>⁴ ≤ 2(<i>x – y</i>)².

Последовательности(<i>a_n</i>)и(<i>b_n</i>)заданы условиями<i> a₁=</i>1,<i> b₁=</i>2,<i> a_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_2.gif"> </i>и<i> b_n+</i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_3.gif"> </i>. Докажите, что<i> a</i>2008<i><</i>5.

Окружность ω с центром <i>O</i> вписана в угол <i>BAC</i> и касается его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Внутри угла <i>BAC</i> выбрана точка <i>Q</i>. На отрезке <i>AQ</i> нашлась такая точка <i>P</i>, что  <i>AQ</i> ⊥ <i>OP</i>.  Прямая <i>OP</i> пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников <i>BPQ</i> и <i>CPQ</i>, вторично в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что  <i>OM = ON</i>.

Дана таблица <i>n×n</i>, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до <i>n</i>. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., <i>n</i>  так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку <i>хорошей</i>, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких <i>n</i> существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

В блицтурнире принимали участие  2<i>n</i> + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее <i>n</i> игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>– точки пересечения лучей<i> BA </i>и<i> CD </i>,<i> BC </i>и<i> AD </i>соответственно, а<i> H </i>– проекция<i> D </i>на<i> PQ </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> ABCD </i>является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников<i> ADP </i>и<i> CDQ </i>видны из точки<i> H </i>под равными углами.

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел <i>a, b</i>, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² – <i>ax + b</i> = 0  и  <i>x</i>² – <i>bx + a</i> = 0  имеет два целых корня?

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса1. Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса<i> <img src="/storage/problem-media/111864/problem_111864_img_2.gif"> </i>.

Дано конечное множество простых чисел <i>P</i>. Докажите, что найдётся такое натуральное число <i>x</i> , что оно представляется в виде  <i>x = a^p + b^p</i>  (с натуральными <i>a, b</i>) при всех   <i>p</i> ∈ <i>P </i>  и не представляется в таком виде для любого простого <i>p</i> ∉ <i>P</i>.

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из <i>N</i> гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение <i>N</i>.