Олимпиадная задача о хорошем клетке в таблице: теория чисел и комбинаторика для 8-10 классов

  Найдём общее количество хороших клеток. В первом столбце их  n – 1  (все, кроме клетки с числом 1), во втором –  n – 2  (все, кроме клеток с числами 1 и 2) и т. д., в последнем столбце таких клеток нет. Значит, всего их  (n – 1) + (n – 2) + ... + 1 = ½ n(n – 1).   Поэтому в каждой строке их должно быть по ^n–1/₂. Следовательно, n нечётно.

  Приведём пример расстановки для  n = 2k + 1.

  В каждой строке стоит циклическая перестановка ряда  2k+ 1,  2k, ..., 1.  При этом, как нетрудно видеть, в 2i-й строке хорошими будут первая  i– 1 клетка и клетки с 2i-й по (k+i)-ю, а в (2i–1)-й строке – первая  i– 1  клетка и клетки с (2i–1)-й по (k+i–1)-ю. Таким образом, в каждой строке ровноkхороших клеток.

При нечётных n.