Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 4 с решениями
В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов (<i>x</i> > 4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?
Последовательности(<i>a<sub>n</sub></i>)и(<i>b<sub>n</sub></i>)заданы условиями<i> a<sub>1</sub>=</i>1,<i> b<sub>1</sub>=</i>2,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_2.gif"> </i>и<i> b<sub>n+</sub></i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_3.gif"> </i>. Докажите, что<i> a</i>2008<i><</i>5.
В блицтурнире принимали участие 2<i>n</i> + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее <i>n</i> игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.
Дано конечное множество простых чисел <i>P</i>. Докажите, что найдётся такое натуральное число <i>x</i> , что оно представляется в виде <i>x = a<sup>p</sup> + b<sup>p</sup></i> (с натуральными <i>a, b</i>) при всех <i>p</i> ∈ <i>P </i> и не представляется в таком виде для любого простого <i>p</i> ∉ <i>P</i>.