Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»
Имеется 4 монеты, из которых 3 – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил (в уме) сумму этих чисел на их произведение. После этого Незнайка стёр самое маленькое число и поделил (опять в уме) сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?
Точечный прожектор, находящийся в вершине <i>B</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла <i>ABC</i>, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны <i>AC</i> можно составить треугольник.
Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в каждых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в каждых двух строках – различным?
На столе лежат <i>n</i> спичек (<i>n</i> > 1). Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до <i>n</i> – 1, а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все <i>n</i>, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
Назовем билет с номером от 000000 до 999999<i>отличным</i>, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число отличных билетов.
Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется 400<sup>5</sup> – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4) рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?
Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
Докажите, что если 0 < <i>a, b</i> < 1, то <img align="middle" src="/storage/problem-media/109897/problem_109897_img_2.gif"> .
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
<center><i> <img src="/storage/problem-media/109895/problem_109895_img_2.gif"> </i></center> В одном из узлов шестиугольника со стороной<i> n </i>, разбитого на правильные треугольники<i> (см. рис.) </i>, стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?
Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109894/problem_109894_img_2.gif">, если известно, что это число целое.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i>, <i>x</i>² + <i>cx + d</i>, что <i>a</i> и <i>b</i> – корни второго трёхчлена, <i>c</i> и <i>d</i> – корни первого.
На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.
В каждой клетке квадратной таблицы размером <i>n×n</i> клеток (<i>n</i> ≥ 3) записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить <i>n</i> получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число <i>n</i> делится на 4.
Верно ли, что из произвольного треугольника можно вырезать три равные фигуры, площадь каждой из которых больше четверти площади треугольника?
Докажите, что если <i>a, b, c</i> – положительные числа и <i>ab + bc + ca > a + b + c</i>, то <i>a + b + c</i> > 3.
Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв <i>a</i> и <i>b</i>, что при одновременной замене всех букв <i>a</i> на <i>aba</i> и букв <i>b</i> на <i>bba</i> она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?
Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых различных натуральных <i>a, b, c</i> и <i>d</i> среди чисел <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109883/problem_109883_img_2.gif"></div>есть по крайней мере два числа, равных<i>n</i>.
Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i> = | </i>4<i> - </i>4<i>|x|| - </i>2. Сколько решений имеет уравнение<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i> = x </i>?
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса<i> <img src="/storage/problem-media/109880/problem_109880_img_2.gif"> </i>с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.
Назовем медианой системы 2<i> n </i>точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2<i> n </i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Дан треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0. На отрезке<i> A</i>0<i>B</i>0отмечены точки<i> A</i>1,<i> A</i>2<i>, ,A<sub>n</sub> </i>, а на отрезке<i> B</i>0<i>C</i>0– точки<i> C</i>1,<i> C</i>2<i>, , C<sub>n</sub> </i>, причём все отрезки<i> A<sub>i</sub>C<sub>i+</sub></i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1), параллельны между собой и все отрезки<i> C<sub>i</sub>A<sub>i+</sub></i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1) – тоже. Отрезки<i> C</i>0<i>A</i>...
В треугольнике <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что ∠<i>COA</i> = ∠<i>B</i> + 60°, ∠<i>COB</i> = ∠<i>A</i> + 60°, <i>AOB</i> = ∠<i>C</i> + 60°. Докажите, что если из отрезков <i>AO, BO</i> и <i>CO</i> можно составить треугольник, то из высот треугольника <i>ABC</i> тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.