Олимпиадная задача: точечный прожектор и треугольник, планиметрия, 7–9 класс

  Пусть  α < 30°.  Расположим прожектор так, чтобы один из крайних лучей BK был перпендикулярен AC (рис. слева). Второй луч пересекает основание в точке M. Но  AK = KC = KM + MC.  Значит, из этих отрезков сложить треугольник нельзя.

  Пусть  α > 30°.  Возьмём на основанииACточкиKиLтак, чтобы  ∠KBC= ∠LBA= α; T– середина отрезкаAC(рис. справа). На основании возьмём точкуRтак, чтобы  KT = RC.  ПустьMлежит в пересечении отрезковRCиLC. Возьмём точкуNтак, что  ∠NBM= α.  Заметим, чтоNпринадлежит отрезкуAK.   Имеем  NM > KM = KT + TM = CR + TM > CM + TM = TC= ½AC,  откуда  AN + MC < MN.   Следовательно, из этих отрезков нельзя построить треугольник.   Осталась одна возможность  α = 30°.   ПустьMN– освещаемый прожектором отрезок,  ∠ MBN= α = 30°  (рис. слева). Ясно, чтоBN не перпендикулярно AC. (Иначе точкаMсовпадёт сAи, значит, луч не внутри треугольника.)  Отразив точкуCотносительно прямойBN, получим точкуD, которая не лежит наAC(иначе  BN⊥AC)  (рис. справа).   ТреугольникBDC– равнобедренный и, значит,  ∠DBN= ∠CBN = x  и  NC = DN.  Ясно, что  ∠MBD= ∠NBM– ∠NBD= 30° –x, ∠ABM= ∠ABC– ∠MBN– ∠NBC= 60° – 30° –x= 30° –x.   Значит,ABD– равнобедренный треугольник,BM– его биссектриса и, значит,  AM = MD.  В треугольникеDMNстороны равны отрезкамAM, MNиNC, то есть из них можно составить треугольник.

α = 30°.