Олимпиадная задача по планиметрии: покрытие треугольника кругами, 9-11 класс

Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 9-11 классов: покрытие треугольника кругами

Задача

Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.

Решение

Предположим противное, что точка O треугольника не покрыта кругами. Тогда OA > , OB > , OC > и один из углов AOB , BOC , AOC не меньше120^o . Пусть это угол AOC . Тогда, по теореме косинусов, имеем