Олимпиадная задача по теории чисел для 8–10 классов: шесть делителей с суммой 3500

  Если у числа n шесть делителей, то  n = p⁵ (p – простое) или  n = p²q, где p и q – различные простые числа.

  В первом случае  1 + p + p² + p³ + p⁴ + p⁵ = 3500,  p(p + p² + p³ + p⁴) = 3499.  Число 3499 не делится на 2, 3, 5 и 7, поэтому  p > 10,  но в этом случае

p(p + p² + p³ + p⁴) > 3499.  Поэтому это уравнение решений в простых числах не имеет.

  Во втором случае  1 + p + p² + q + pq + p²q = 3500,  то есть  (1 + p + p²)(1 + q) = 5³·7·4.  Первый множитель нечётен и не кратен 5. (Чтобы убедиться в этом, достаточно это утверждение проверить для соответствующих остатков.) Отсюда, учитывая, что  1 + p + p² > 1,  имеем  1 + p + p² = 7.  Значит,  p = 2,  q = 499.  Числа 2 и 499 – простые. Искомое число  n = 2²·499 = 1996.

n = 1996.