Олимпиадная задача по математике: решения уравнения с модулем, 9-11 класс
Задача
Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2. Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?
Решение
Пусть x0 – решение уравнения f(f(x)) = x , а y0 = f(x0). Тогда и x0 = f(y0), а потому точка с координатами(x0,y0)лежит на каждом из графиков y = f(x)и x =f(y). Наоборот, если точка(x0,y0)лежит на пересечении этих графиков, то y0 = f(x0)и x0 = f(x0), откуда f(f(x0)) = x0 . Тем самым показано, что число решений уравнения f(f(x)) = x совпадает с числом точек пересечения графиков y = f(x)и x = f(y), а их 16 (см. рис.) .
Ответ
16.00
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет