Олимпиадная задача по математике: значения числового выражения при взаимно простых a, b и c

  Пусть  (a + b)(b + c)(c + a) = nabc,  где n – целое число.

  Пусть среди чисел a, b и c есть равные, например,  a = b.  Тогда  (a, b) = a = 1  и  2(1 + c)² = nc.  Отсюда следует, что 2 делится на c, то есть  c = 1 или 2.  В первом случае  n = 8,  а во втором  n = 9.

  Пусть  a < b < c.  Если два числа взаимно просты, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому  a + b = mc,  a + c = kb  (m и k – натуральные).

  Так как  a + b < 2c,  то  mc < 2c  и, значит,  m < 2, то есть  m = 1  и, следовательно,  a + b = c.  Значит,  a + b = kb – a,  или  2a = b(k – 1).

  Так как a и b взаимно просты, то 2 делится на b. Учитывая, что  1 ≤ a < b,  получаем, что  b > 1  и, значит,  b = 2.  Тогда  a = 1,   c = 3,  n = 10.

8, 9, 10.