Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» - сложность 2 с решениями
Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил (в уме) сумму этих чисел на их произведение. После этого Незнайка стёр самое маленькое число и поделил (опять в уме) сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?
Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в каждых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в каждых двух строках – различным?
Назовем билет с номером от 000000 до 999999<i>отличным</i>, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число отличных билетов.
Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется 400<sup>5</sup> – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4) рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i>, <i>x</i>² + <i>cx + d</i>, что <i>a</i> и <i>b</i> – корни второго трёхчлена, <i>c</i> и <i>d</i> – корни первого.
Докажите, что если <i>a, b, c</i> – положительные числа и <i>ab + bc + ca > a + b + c</i>, то <i>a + b + c</i> > 3.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>) на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, и вокруг треугольников <i>ADC</i> и <i>BDC</i> описаны окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> соответственно. Касательная, проведённая к <i>S</i><sub>1</sub> в точке <i>D</i>, пересекает второй раз окружность <i>S</i><sub>2</sub> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>BM || AC</i>.