Олимпиадные задачи из источника «17 турнир (1995/1996 год)» для 9-11 класса - сложность 1-3 с решениями

Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что  <i>MK = KN</i>.

В плоскости выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположена точка <i>P</i>. Проведены биссектрисы <i>PK,PL, PM</i> и <i>PN</i> треугольников <i>APB, BPC, CPD</i> и <i>DPA</i> соответственно.

  а) Найдите хотя бы одну такую точку <i>P</i>, для которой четырёхугольник <i>KLMN</i> – параллелограмм.

  б) Найдите все такие точки.

Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?

Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего.

Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.

Заданы две непересекающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂. Пусть <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ – точки пересечения отрезка <i>O</i>₁<i>O</i>₂ с соответствующими окружностями, а <i>C</i> – точка пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂. Докажит...

Прямоугольник <i>ABCD</i> с площадью 1 сложили по прямой так, что точка <i>C</i> совпала с <i>A</i>.

Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше ¾.

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

<i>AK</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что  <i>PA = PK</i>  и  <i>QA = QK</i>.

Докажите, что  ∠<i>PAQ</i> = 90° – ½ ∠<i>A</i>.

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.

Можно ли вычеркнуть из произведения  1!·2!·3!·...·100!  один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел  <i>n</i> – 1,  <i>n</i>,  <i>n</i> + 1,  что:

  a) <i>n</i> представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет;

  б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.  Найдите сумму  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

Кузнечик вначале сидит в точке <i>M</i> плоскости <i>Oxy</i> вне квадрата  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1,  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1  (координаты <i>M</i> – нецелые, расстояние от <i>M</i> до центра квадрата равно <i>d</i>). Кузнечик прыгает в точку, симметричную <i>M</i> относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10<i>d</i>.

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

На сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены квадраты <i>ABMN, BCKL, ACPQ</i>. На отрезках <i>NQ</i> и <i>PK</i> построены квадраты <i>NQZT</i> и <i>PKXY</i>. Разность площадей квадратов <i>ABMN</i> и <i>BCKL</i> равна <i>d</i>. Найдите разность площадей квадратов <i>NQZT</i> и <i>PKXY</i>

  а) в случае, если угол <i>ABC</i> прямой,

  б) в общем случае.

Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?

В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.

Докажите,что сумма  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей, равна 30°:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

В ряд выписаны действительные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>².  Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.

  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.

  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия

  а) из 11,

  б) из 10000,

  в) из бесконечного числа натуральных чисел,

такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая арифметическая прогрессия?

Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала <i>n</i> билетов на все первые 100 мест, но <i>n</i> больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом  <i>n</i> < 1000).  Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.