Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

На плоскости даны три точки <i>A, B, C</i>. Через точку <i>C</i> проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до <i>A</i> и <i>B</i> было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?

Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?

а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка <i>P</i>. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит <i>P</i> (если <i>P</i> лежит на прямой, то он говорит, что <i>P</i> лежит на прямой).

Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка <i>P</i> внутри квадрата?