Олимпиадная задача по планиметрии: докажите неравенство площади пятиугольника

  Ясно, что ABCD – не квадрат (иначе при сложении получился бы треугольник). Пусть для определённости  AB < BC.  Так как точка C совпала с точкой A, то прямая сгиба l – серединный перпендикуляр к диагонали AC. Если M и N точки пересечения прямой l со сторонами BC и AD соответственно, то четырёхугольник AMCN – ромб, (его диагонали AC и MN перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам). Поэтому   CM = AM > MB,

S_CNM = ½ CM·AB < ½ BC·AB = ¼.

  Пусть D' – точка, симметричная вершине D относительно прямой l. Тогда ABMND' – пятиугольник, полученный в результате сгиба, и

S_ABMND' = S_ABCD – S_CMN = ¾.

Ответ задачи отсутствует