Олимпиадная задача: Существует ли куб с расстояниями от вершин до плоскости 0–7?

 Рассмотрим куб, вершины которого имеют декартовы координаты  (0, 0, 0),  (0, 0, 1),  (0, 1, 0),  ...,  (1, 1, 1)  – всего восемь троек. Если каждую такую тройку записать подряд, выбросив из записи запятые, и прочитать эти тройки как двоичные числа, то получится ряд чисел: 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7; при этом тройке  (x, y, z) нулей и единиц соответствует число  4x + 2y + z,  то есть скалярное произведение вектора  v = (4, 2, 1)  на вектор  (x, y, z).

  Проведём через начало координат плоскость П, перпендикулярную вектору v. Вспомнив, что скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора, видим, что проекции вершин куба на прямую, содержащую вектор v, находятся от начала координат (а значит, вершины куба – от плоскости П) на расстояниях, пропорциональных числам 0, 1, 2, ..., 7. Чтобы получить искомый куб, нужно наш куб подвергнуть гомотетии с центром в начале координат с соответствующим коэффициентом.

Существует.