Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8‑10 классов от Егорова и Бугаенко
Задача
Положительные числа a, b, c таковы, что a² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.
Решение
Решение 1:Отложим на сторонах угла 60° с вершиной O отрезки OA = a и OB = b. По теореме косинусов и в силу равенства a² + b² – ab = c² длина отрезка AB равна c. Так как в треугольнике OAB угол при вершине O средний по величине, то и сторона c средняя, то есть либо b ≤ c ≤ a, либо a ≤ c ≤ b. В обоих случаях (a – c)(b – c) ≤ 0.
Решение 2:Данное равенство можно записать как в виде (a – c)(a + c) = b(a – b), так и в виде (b – c)(b + c) = ac(b – a). Перемножив, получим
(a – c)(b – c)(a + c)(b + c) = – ab(a – b)². Правая часть, очевидно, неположительна, а множитель (a + c)(b + c) в левой части положителен. Следовательно, (a – c)(b – c) ≥ 0.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь