Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями

Точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> образуют еще один квадрат. <i>DK</i> пересекает <i>NM</i> в точке <i>E</i>, а <i>KC</i> пересекает <i>LM</i> в точке <i>F</i>.

Докажите, что  <i>EF || AB</i>.

В угол вписаны непересекающиеся окружности ω₁ и ω₂. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂, что <i>l</i>₁ касается ω₁, <i>l</i>₂ касается ω₂ (ω₁, ω₂ находятся между <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i>₁, <i>l</i>₂ и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω₁ касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω₂ – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω₂ в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MQ || AL</i>.

Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Через точку <i>B</i> провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону <i>AD</i> в точке <i>K</i>, а вторая   продолжение стороны <i>CD</i> в точке <i>L</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения <i>KL</i> и <i>AC</i>. Докажите, что  <i>BF</i> ⊥ <i>KL</i>.

Перпендикуляр, восстановленный в вершине<i>C</i>параллелограмма<i>ABCD</i>к прямой<i>CD</i>, пересекает в точке<i>F</i>перпендикуляр, опущенный из вершины<i>A</i>на диагональ<i>BD</i>, а перпендикуляр, восстановленный из точки<i>B</i>к прямой<i>AB</i>, пересекает в точке<i>E</i>серединный перпендикуляр к отрезку<i>AC</i>. В каком отношении отрезок<i>EF</i>делится стороной<i>BC</i>?

Дана окружность с центром <i>O</i> и не лежащая на ней точка <i>P</i>. Пусть <i>X</i> – произвольная точка окружности, <i>Y</i> – точка пересечения биссектрисы угла <i>POX</i> и серединного перпендикуляра к отрезку <i>PX</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i> (<i>H</i> лежит между <i>L</i> и <i>B</i>). При этом  <i>ML = LH = HB</i>.

Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> описана окружность и в точке <i>B</i> проведена касательная к ней. Из точки <i>C</i> проведён перпендикуляр <i>CD</i> к этой касательной, также проведены высоты <i>AE</i> и <i>BF</i>. Докажите, что точки <i>D, E, F</i> лежат на одной прямой.

Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°?

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.

Найдите углы треугольника.

Пусть <i>M</i> – середина хорды <i>AB</i> окружности с центром <i>O</i>. Точка <i>K</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>O, P</i> – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к <i>AB</i> в точке <i>A</i> и перпендикуляр к <i>PK</i> в точке <i>P</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точка <i>H</i> – проекция <i>P</i> на <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>QB</i> делит отрезок <i>PH</i> пополам.

Две точки окружности соединили ломаной, длина которой меньше диаметра окружности.

Докажите, что существует диаметр, не пересекающий эту ломаную.

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ касаются внешним образом в точке <i>O</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи <i>O</i>₁<i>X</i> и <i>O</i>₂<i>Y</i> одинаково направлены. Из точки <i>X</i> проведены касательные к Ω₂, а из точки <i>Y</i> – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку <i>O</i>.

Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу.

Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64799/problem_64799_img_2.png"></div>

В треугольнике <i>ABC</i> отмечены середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> – точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Угол <i>MAN</i> равен 15°, а угол <i>BAN</i> равен 45°.

Найдите угол <i>ABM</i>.

Пусть <i>AH_a</i> и <i>BH_b</i> – высоты, а <i>AL_a</i> и <i>BL_b</i> – биссектрисы треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>H_aH_b || L_aL_b</i>.  Верно ли, что  <i>AC = BC</i>?

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, а гипотенузы – в точке <i>C</i>₁. Прямые <i>C</i>₁<i>A</i>₁ и <i>C</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀. Докажите, что  <i>AB</i>₀ = <i>BA</i>₀.