Олимпиадные задачи из источника «VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)» для 5-9 класса - сложность 3 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i>. Касательная в точке <i>C</i> к его описанной окружности пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ACD</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>DK</i> делит отрезок <i>BC</i> пополам.

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Пусть <i>AH</i> – высота остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – проекции <i>H</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>KL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а прямую <i>AH</i> – в точках <i>A</i> и <i>T</i>. Докажите, что точка <i>H</i> является центром вписанной окружности треугольника <i>PQT</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

При каких  <i>n</i> > 3  правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.

Докажите, что среди них есть треугольник.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>Q</i> симметрична середине стороны <i>AC</i> относительно <i>AA</i>₁. Точка <i>P</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>QPH</i> = 90°.

Окружность Ω описана около треугольника <i>ABC</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> взяли такую точку <i>B</i>₁, что  <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>.  Биссектриса угла <i>A</i> пересекает Ω вторично в точке <i>W</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>AWB</i>₁ лежит на Ω.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>B</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассматриваются прямые <i>l</i>, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>O</i> – точка пересечения диагоналей, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>MO</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что  <i>AE</i> : <i>ED = S_ABO : S_CDO</i>.

Даны точки <i>A, B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что <i>C</i>, середины отрезков <i>AC, BC</i> и точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i> лежат на одной окружности.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, проходящая через <i>O</i> и параллельная <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки <i>O</i> до сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> равна <i>OA</i>. Докажите, что сумма отрезков <i>PB</i> и <i>QC</i> равна <i>PQ</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точка <i>P</i>. Точки <i>A', B', C'</i> – проекции <i>P</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> и параллельная <i>AB</i>, вторично пересекает описанную окружность треугольника <i>PA'B'</i> в точке <i>C</i>₁. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ определены аналогично. Докажите, что

  а) прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке;

  б) треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i&gt...

В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.

  а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?

  б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?

Пусть <i>BM</i> – медиана прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник <i>ABM</i>, касается сторон <i>AB, AM</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂; аналогично определяются точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются на биссектрисе угла <i>ABC</i>.

На гипотенузе <i>AC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку такую <i>C</i>₁, что  <i>BC = CC</i>₁.  Затем на катете <i>AB</i> отметили такую точку <i>C</i>₂, что

<i>AC</i>₂ = <i>AC</i>₁;  аналогично определяется точка <i>A</i>₂. Найдите угол <i>AMC</i>, где <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₂<i>C</i>₂.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> произвольно выбрана точка <i>D</i>. Касательная, проведённая в точке <i>D</i> к описанной окружности треугольника <i>BDC</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁; аналогично определяется точка <i>A</i>₁. Докажите, что  <i>A</i>₁C₁ || <i>AC</i>.