Задача
Дан треугольник ABC. Рассматриваются прямые l, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.
Решение
Пусть прямые, симметричные l, пересекаются в точке P. Тогда точки, симметричные P, лежат на l, а, значит, проекции P на стороны треугольника лежат на одной прямой. Следовательно, по теореме Симсона (см. задачу 156934) P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Кроме того, так как прямая Симсона точки P делит пополам отрезок между P и ортоцентром H треугольника ABC (см. задачу 156946), то l проходит через H.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет