Олимпиадные задачи из источника «VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)» для 10-11 класса - сложность 1-3 с решениями
VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)
НазадДан треугольник <i>ABC</i>. Касательная в точке <i>C</i> к его описанной окружности пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ACD</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>DK</i> делит отрезок <i>BC</i> пополам.
Дан тетраэдр <i>ABCD</i>. Точка <i>X</i> выбрана вне тетраэдра так, что отрезок <i>XD</i> пересекает грань <i>ABC</i> во внутренней точке. Обозначим через <i>A', B', C'</i> проекции точки <i>D</i> на плоскости <i>XBC, XCA, XAB</i> соответственно. Докажите, что <i>A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC</i>.
В окружность Ω вписан четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> которого перпендикулярны. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116915/problem_116915_img_2.gif"></div>
Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.
Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.
При каких <i>n</i> можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?
Пусть <i>AH</i> – высота остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – проекции <i>H</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>KL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а прямую <i>AH</i> – в точках <i>A</i> и <i>T</i>. Докажите, что точка <i>H</i> является центром вписанной окружности треугольника <i>PQT</i>.
В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что <i>N > N'</i>.
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>BC = a</i>, <i>AB = AC = b</i>. На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором
<i>AD = DC = a</i>. Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.
<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что <i>AM = NC</i>. На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что <i>CN = BK</i>. Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.
При каких <i>n</i> > 3 правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub> симметричны точкам <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub>,...
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> треугольника <i>OBA</i><sub>1</sub> и высоту <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> треугольника <i>OAB</i><sub>1</sub>. Докажите, что отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> параллелен стороне <i>AB</i>.
На плоскости даны <i>n</i> (<i>n</i> > 2) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?
На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.
В сегмент, ограниченный хордой и дугой <i>AB</i> окружности, вписана окружность ω с центром <i>I</i>. Обозначим середину указанной дуги <i>AB</i> через <i>M</i>, а середину дополнительной дуги через <i>N</i>. Из точки <i>N</i> проведены две прямые, касающиеся ω в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Противоположные стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Y</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что точки <i>X, Y, I</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой.
Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> отметили точку <i>D</i>. Пусть ω<sub>1</sub> и Ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> и Ω<sub>2</sub> – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся <i>AB</i> во внутренней точке) окружности треугольников <i>ACD</i> и <i>BCD</i>. Докажите, что общие внешние касательные к ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> пересекаются на прямой <i>AB</i>.
На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.
Квадрат <i>ABCD</i> вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на дуге <i>BC</i>, прямая <i>AM</i> пересекает <i>BD</i> в точке <i>P</i>, прямая <i>DM</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>Q</i>.
Докажите, что площадь четырёхугольника <i>APQD</i> равна половине площади квадрата.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AB, O</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>CMB</i>. Прямая <i>AC</i> вторично пересекает окружность ω в точке <i>K</i>. Прямая <i>KO</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>AL</i> и <i>KM</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ACM</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассматриваются прямые <i>l</i>, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> <i>O</i> – точка пересечения диагоналей, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>MO</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AE</i> : <i>ED = S<sub>ABO</sub> : S<sub>CDO</sub></i>.
Даны точки <i>A, B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что <i>C</i>, середины отрезков <i>AC, BC</i> и точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i> лежат на одной окружности.