Олимпиадные задачи из источника «III Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2007 г.)» для 4-8 класса - сложность 3 с решениями

На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.

Найдите наибольший объём пирамиды.

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.

Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?

На сторонах угла взяты точки <i>A, B</i>. Через середину <i>M</i> отрезка <i>AB</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, другая – в точках <i>A</i>₂ , <i>B</i>₂. Прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₂ и <i>A</i>₂<i>B</i>₁ пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>M</i> – середина <i>PQ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения <i>A'B'</i> и <i>CC'</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения <i>A'C'</i> и <i>BB'</i>.

Докажите, что  ∠<i>PAC</i> = ∠<i>QAB</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i>  <i>P</i> и <i>Q</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i> соответственно. Докажите, что если ∠<i>DAQ</i> = ∠<i>CAB</i>, то ∠<i>PBA</i> = ∠<i>DBC</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>X</i>, <i>Y</i>, что  <i>AX = BY</i>.  Прямые <i>CX</i> и <i>CY</i> вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках <i>U</i> и <i>V</i>. Докажите, что все прямые <i>UV</i> проходят через одну точку.

Дан прямоугольник <i>ABCD</i> и точка <i>P</i>. Прямые, проходящие через <i>A</i> и <i>B</i> и перпендикулярные, соответственно, <i>PC</i> и <i>PD</i>, пересекаются в точке <i>Q</i>.

Докажите, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AB</i>.

Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки <i>A, B, C</i> (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).

Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.

Три окружности проходят через точку <i>P</i>, а вторые точки их пересечения <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой. <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP, CP</i> с соответствующими окружностями. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁.  <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ определяются аналогично.

Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i><sub...

Невыпуклый <i>n</i>-угольник разрезали прямолинейным разрезом на три части, после чего из двух частей сложили многоугольник, равный третьей части. Может ли <i>n</i> равняться

  а) 5?

  б) 4?

Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего <i>n</i>-угольника с его вершинами, делят <i>n</i>-угольник на <i>n</i> равных треугольников.

При каком наименьшем <i>n</i> это возможно?

Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники<i> ABC </i>и<i> ACD </i>.

Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> так, чтобы выполнялись равенства  <i>AB = A'B',  AC = A'C'</i>  и

∠<i>B</i> = ∠<i>B'</i>.  Существуют ли три попарно похожих треугольника?

Медианы<i> AA' </i>и<i> BB' </i>треугольника<i> ABC </i>пересекаются в точке<i> M </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/110762/problem_110762_img_2.gif"> AMB=</i>120<i>^o </i>. Докажите, что углы<i> AB'M </i>и<i> BA'M </i>не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что его можно разрезать на два равных треугольника.

Восстановите прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  по вершинам <i>A, C</i> и точке на биссектрисе угла <i>B </i>.

Точки <i>A', B', C'</i> – основания высот остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность с центром <i>B</i> и радиусом <i>BB'</i> пересекает прямую <i>A'C'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> (точки <i>K</i> и <i>A</i> лежат по одну сторону от <i>BB'</i>). Докажите, что точка пересечения прямых <i>AK</i> и <i>CL</i> лежит на прямой <i>BO</i>, где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его. <center><i> <img src="/storage/problem-media/110752/problem_110752_img_2.gif"> </i></center>

а) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоугольник, то есть многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа бумаги в клетку?б) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранник, то есть многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих друг к другу гранями?